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Chapitre 5 • Ensembles
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Soit A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et on note A c B,
quand tout élément de A est aussi élément de B . Donc : Ac B ~V x E A, x E B .
Si A c B, on dit que A est un sous-ensemble ou une partie de B. L'ensemble des
parties d'un ensemble Ese note P(E). Quel que soit l'ensemble E, on a E c E et
0cE.
Soit A un sous-ensemble de E. On appelle complémentaire deA dans E, que l' on
note CEA ou A, l'ensemble de tous les éléments de E qui n ' appartiennent pas à A .
x E CEA ~ (x E E /\ x e; A)
Exemples
Dans ru, le complémentaire de l'ensemble des nombres pairs est l'ensemble des
nombres impairs.
Dans IR{, le complémentaire de l'ensemble [l ;+oo[ est ]-oo ; l [.
Soit A et B deux ensembles. L'intersection de A et de B, que l'on note A n B, est
l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. Donc :
x E A n B ~ (x E A /\ x E B)
La réunion de A et de B, que l' on note Au B, est l'ensemble de tous les éléments
qui appartiennent à A ou à B (ou non exclusif). Donc:
x E A u B ~ (x E A v x E B)
Exemples
A= {0 ·3· 6 ·9· 12 ·1 5}
, , , , ,
An B = {0 ;12}
Propriété 5.1
Quels que soient les ensembles A, B et C :
AnB=BnA
AuB=BuA
An~uq=~nmu~nq
Au~nq=~umn~uq
Ces propriétés montrent que l' intersection et la réunion sont commutatives et
distributives l'une par rapport à l 'autre.
Propriété 5.2
Soit A une partie d ' un ensemble E et soit A son complémentaire dans E:
An0=0
Au0=A
AnA=0
AuA=E
5.1.2 Produit cartésien
Dans le tableau 5 .1 , les huit cases peuvent être repérées par un couple formé par le
numéro de la ligne, suivi du numéro de la colonne. Ainsi la case colorée en gris est
repérée par le couple (1 ;3).