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5.1 · Langage ensembliste
Tableau 5.1
l
2
3
4
l
2
On obtient alors les huit couples: (l;l), (1;2), (1;3), (1;4), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4).
Ces huit couples sont tous ceux que l'on peut former en mettant un élément de
l'ensemble E = { 1 ;2} en première position et un élément de F = { 1 ;2;3;4} en
deuxième position.
L'ensemble de ces huit couples forment un ensemble appelé produit cartésien de
E et F, noté E X F.
On aurait pu choisir de repérer chaque case par un couple formé par le numéro de
la colonne, suivi du numéro de la ligne. On obtient alors huit couples qui forment le
produit cartésien de F et de E.
Ces deux produits cartésiens ne sont pas égaux, même s'ils ont le même nombre
d'éléments.
Exemple
(1;3)E ExFmais(1;3)~ FxE.
Soit E et F deux ensembles. Le produit cartésien de E et F, que l'on note Ex F,
est l'ensemble de tous les couples formés par un élément de E en première position,
et un élément de Fen deuxième position.
ExF= {(x;y) , x E E,yE F}
De plus, si E et F sont des ensembles finis, card(E x F) = card(E) x card(F).
On peut faire le produit cartésien d'un ensemble avec lui-même. Ce produit
cartésien pourra se noter E
2 . Cette notation permet de simplifier certains quantificateurs:
~ • Au lieu d'écrire « V x E E, V y E E »,on peut écrire « V (x;y) E E
2 » .
~ • Pour dire qu'il existe deux entiers naturels, on pourra écrire« ::3 (x;y) E N
2 » .
"
~
On peut généraliser la notion de produit cartésien à plus de deux ensembles avec
~ la définition suivante .
"' c:
2
Soit E 1 , E 2 , .. ., En n ensembles. Le produit cartésien E 1 x E 2 x ... x En est l'ensemc:
· 5 ble de tous les n-uplets formés par un élément de E 1 en première position, un
:::l
2 élément de E 2 en deuxième position, ... , un élément de En en n-ième position.
o.
~
~
E 1 xE 2 x .. . XEn={(x 1 ,x 2 , .. .,xn),x 1 E E 1 ,x 2 E E 2 , ... ,XnEEn}
li
"8 c:
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0
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De plus, si tous les ensembles sont finis :
card(E 1 x E 2 x ... x En) = card(E 1 ) x card(E 2 ) x ... x card(En)
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On obtient alors les huit couples: (l;l), (1;2), (1;3), (1;4), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4).
Ces huit couples sont tous ceux que l'on peut former en mettant un élément de
l'ensemble E = { 1 ;2} en première position et un élément de F = { 1 ;2;3;4} en
deuxième position.
L'ensemble de ces huit couples forment un ensemble appelé produit cartésien de
E et F, noté E X F.
On aurait pu choisir de repérer chaque case par un couple formé par le numéro de
la colonne, suivi du numéro de la ligne. On obtient alors huit couples qui forment le
produit cartésien de F et de E.
Ces deux produits cartésiens ne sont pas égaux, même s'ils ont le même nombre
d'éléments.
Exemple
(1;3)E ExFmais(1;3)~ FxE.
Soit E et F deux ensembles. Le produit cartésien de E et F, que l'on note Ex F,
est l'ensemble de tous les couples formés par un élément de E en première position,
et un élément de Fen deuxième position.
ExF= {(x;y) , x E E,yE F}
De plus, si E et F sont des ensembles finis, card(E x F) = card(E) x card(F).
On peut faire le produit cartésien d'un ensemble avec lui-même. Ce produit
cartésien pourra se noter E
2 . Cette notation permet de simplifier certains quantificateurs:
~ • Au lieu d'écrire « V x E E, V y E E »,on peut écrire « V (x;y) E E
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~ • Pour dire qu'il existe deux entiers naturels, on pourra écrire« ::3 (x;y) E N
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On peut généraliser la notion de produit cartésien à plus de deux ensembles avec
~ la définition suivante .
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Soit E 1 , E 2 , .. ., En n ensembles. Le produit cartésien E 1 x E 2 x ... x En est l'ensemc:
· 5 ble de tous les n-uplets formés par un élément de E 1 en première position, un
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De plus, si tous les ensembles sont finis :
card(E 1 x E 2 x ... x En) = card(E 1 ) x card(E 2 ) x ... x card(En)
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