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Chapitre l • Arithmétique
4
On peut compter en base 2 (on n'utilise que les chiffres 0 et 1): 0, 1, 10, 11 , 100,
101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, etc.
Pour compter en base 16, on utilise les dix chiffres et on en rajoute six autres (que
l'on note A, B, C, D, E et F). Cela donne: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F,
10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, lA , lB, lC, lD, lE, lF, 20, 21 , 22, etc.
Exemples
4 en base 1 0, c'est 1 OO en base 2.
A en base 16, c'est 10 en base 1 O.
9 en base 10, c'est 1001 en base 2.
1 A en base 1 6, c'est 26 en base 1 O.
Le microprocesseur d'un ordinateur ne travaille qu'avec deux chiffres : 0 (pas de
courant) et l (courant). Les calculs s'y font donc naturellement en base 2.
Le nombre 23, écrit en base 10, se note 10111 en base 2 et 17 en base 16, mais on
ne peut pas écrire 23 = 10111=17.
C'est pourquoi nous adoptons la notation (n )p pour indiquer que le nombre n est
écrit en base p : (23) 10 = (1011 lh = (17) 16 .
Les écritures en bases 2, 10 et 16 s'appellent aussi respectivement les écritures
binaire, décimale et hexadécimale.
Lorsqu'un nombre est écrit en base 10, on peut simplifier la notation (x) 10 . Par
exemple (201) 10 peut s'écrire simplement 201.
L'écriture d'un nombre entier en base 2, 10 ou 16 est unique.
Pour convertir un entier d'une base à l' autre, il est important de comprendre la
relation algébrique que l'on a entre une base p et l'écriture du nombre dans cette
base p . C'est ce qu'énonce la propriété suivante.
Propriété 1 .1
Quels que soient les nombres entiers a 0 , a 1 , a 2 , . .. , an compris entre 0 et p - 1,
où p désigne 2, 10 ou 16, on a:
(an ... a 2 a 1 a 0 )P =an X pn + ... + a 2 X p
2 + a 1 x p + a 0
Dans le cas où p = 16, on remplace dans l'écriture du membre de gauche, tout ai
égal à 10, 11, 12, 13, 14 ou 15 par A, B, C, D, E ou F respectivement.
Exemple
Conversion vers la base l 0 :
(11011 h = 1 X 2 4 + l X 2 3 + 0 X 2 2 + 1 X 2 + l = 16 + 8 + 2 + l = 27
(SC8)1 6 = 5 X 16
2 + 12 X 16 + 8 = l 28 0 + 192 + 8 = l 480
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Chapitre l • Arithmétique
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On peut compter en base 2 (on n'utilise que les chiffres 0 et 1): 0, 1, 10, 11 , 100,
101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, etc.
Pour compter en base 16, on utilise les dix chiffres et on en rajoute six autres (que
l'on note A, B, C, D, E et F). Cela donne: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F,
10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, lA , lB, lC, lD, lE, lF, 20, 21 , 22, etc.
Exemples
4 en base 1 0, c'est 1 OO en base 2.
A en base 16, c'est 10 en base 1 O.
9 en base 10, c'est 1001 en base 2.
1 A en base 1 6, c'est 26 en base 1 O.
Le microprocesseur d'un ordinateur ne travaille qu'avec deux chiffres : 0 (pas de
courant) et l (courant). Les calculs s'y font donc naturellement en base 2.
Le nombre 23, écrit en base 10, se note 10111 en base 2 et 17 en base 16, mais on
ne peut pas écrire 23 = 10111=17.
C'est pourquoi nous adoptons la notation (n )p pour indiquer que le nombre n est
écrit en base p : (23) 10 = (1011 lh = (17) 16 .
Les écritures en bases 2, 10 et 16 s'appellent aussi respectivement les écritures
binaire, décimale et hexadécimale.
Lorsqu'un nombre est écrit en base 10, on peut simplifier la notation (x) 10 . Par
exemple (201) 10 peut s'écrire simplement 201.
L'écriture d'un nombre entier en base 2, 10 ou 16 est unique.
Pour convertir un entier d'une base à l' autre, il est important de comprendre la
relation algébrique que l'on a entre une base p et l'écriture du nombre dans cette
base p . C'est ce qu'énonce la propriété suivante.
Propriété 1 .1
Quels que soient les nombres entiers a 0 , a 1 , a 2 , . .. , an compris entre 0 et p - 1,
où p désigne 2, 10 ou 16, on a:
(an ... a 2 a 1 a 0 )P =an X pn + ... + a 2 X p
2 + a 1 x p + a 0
Dans le cas où p = 16, on remplace dans l'écriture du membre de gauche, tout ai
égal à 10, 11, 12, 13, 14 ou 15 par A, B, C, D, E ou F respectivement.
Exemple
Conversion vers la base l 0 :
(11011 h = 1 X 2 4 + l X 2 3 + 0 X 2 2 + 1 X 2 + l = 16 + 8 + 2 + l = 27
(SC8)1 6 = 5 X 16
2 + 12 X 16 + 8 = l 28 0 + 192 + 8 = l 480