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QJ
Exercices corrigés
b) Notons T la proposition: «(Pet (Q ou R)) {::::>((Pet Q) ou (Pet R)) » .
Tableau 4.2 7
p
Q
R
Qou R Pet (Q ou R) Pet Q Pet R (P et Q) ou (P et R)
T
FAUX FAUX FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
FAUX FAUX VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
FAUX VRAI FAUX
VRAI
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
FAUX VRAI VRAI
VRAI
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
VRAI FAUX FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
FAUX
VRAI
VRAI FAUX VRAI
VRAI
VRAI
FAUX
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI VRAI FAUX
VRAI
VRAI
VRAI
FAUX
VRAI
VRAI
VRAI VRAI VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
VRAI
La dernière colonne du tableau montre que Test toujours vraie.
IQ a) Vrai : il existe bien un réel x tel que x 2 = x puisque, par exemple, 1 2 = 1.
b) Vrai: c'est une propriété du calcul fractionnaire.
c) Vrai : puisque l'égalité est vraie pour tout réel (c'est une identité remarquable), il
existe bien un réel vérifiant cette égalité (il suffit d 'en choisir un au hasard).
d) Faux : tous les réels ne vérifient pas cette inégalité puisque par exemple,
12
2 + 1 = 145 et 145 n'est pas inférieur à 101.
1111] Proposition vraie: :::J x E fi{, x = 2x + 1 (en effet, - 1=2x(- 1)+1).
Proposition fausse : V x E fi{, x = 2x + 1 (en effet, par exemple 0 ne vérifie pas
Û = 2 X Û + 1).
1111 a) Proposition vraie : :::J x E fi{, x
2
~ x (par exemple, x = 5).
Proposition fausse : V x E fi{, x 2 ~ x.
b) Proposition vraie : V x E fi{, :::J y E fi{, y = 2x (cela veut dire que tout nombre réel x
possède un double 2x).
Proposition fausse : :::J x E fi{, V y E fi{, y = 2x .
llt-'I a) L'énoncé signifie « Pour tout réel x il existe un réel y tel que y = x - 1 » .
C'est vrai car, pour tout réel x , x - 1 est aussi un réel.
b) L'énoncé signifie « Il existe au moins un réel x tel que pour tout réel y on ait
y = x - 1 » . C'est faux car, sinon tous les réels seraient égaux au même nombre x - 1.
1 1 1