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Chapitre 4 • Logique
112
lllJ a) Vrai, c'est une factorisation par x.
b) Vrai, par exemple avec x = 2 et n = 5, on a 2 + 5 x 2 = (5 + 1) x 2.
c) Vrai, par exemple, avec n = 7 et p = 15, p - n = 15 - 7 = 8 et 8 est divisible par 2.
d) Faux, n = 7 et p = 12 fournit un contre exemple : p - n = 5 qui n' est pas divisible
par2.
llEI a) Valeur de vérité : VRAI (car x = 2/3 vérifie 3x = 2)
Négation: V x E IR?., 3x -:t= 2 (valeur de vérité: FAUX)
b) Valeur de vérité : FAUX (car par exemple, on n'a pas 2 = 2 + 1)
Négation : ::3 x E IR?., x "# x + 1 (valeur de vérité : VRAI)
c) Valeur de vérité: FAUX (sinon tout réel serait tel que tous les autres réels lui sont
supérieurs ou égaux).
Négation : ::3 x E IR?., ::3 y E IR?., x > y (valeur de vérité : VRAI)
11 .. 1 a) Faux. Si y est strictement négatif, il n'existe pas x réel tel que x
2 =y car x 2
est toujours positif.
Négation : V x E IR?., ::3 y E IR?., x
2 -:t= y. Elle est vraie.
b) V rai, car tout réel possède un carré.
Négation : ::3 x E IR?., V y E IR?., x
2 -:t= y. Elle est fausse.
lllij a) A= 0 + 1+l=1+1+0=1
B = 0 · l + 1= 0·0 + 1= 1
C = (O+l)·l = l·O = O
-
-
-
b) A=l+l+l=O+l+O=l
B=l·l+l=l·O+l=l
C=(l+l)·l=l·O=O
-
-
-
c) A=l+l+O=O+l+l=l
B=l·l+O=l·O+O=O
C=(l+l)·O=l·l=l
llf~
Tableau 4.28 - À gauche réponse à la question a),
À droite réponse à la question b).
a
b
ab
a+ab
a
b
a+b
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
l
0
0
l
l
0
1
l
1
1
l
l
1
1
a(a+b)
0
0
l
l
Les colonnes colorées étant identiques, on en déduit que a = a+ ab et que
a = a(a+b).