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QJ
Exercices corrigés
a) Traduire par une variable booléenne E 1 'ensemble des critères d'achat.
b) Faire la table de Kamaugh de E et donner une expression simplifiée de E.
Traduire par une phrase cette expression simplifiée.
c) Montrer par calculs, que E =a+ b. En déduire une expression de E et traduire
cette expression par une phrase.
SOLUTIONS
llM On sait que (P => Q) <::::> ((non(P)) ou Q) est toujours vrai (c'est une tautologie), donc:
( x > 1 => y= 3) ~ (non ( x > 1) ou y= 3)
<::::> (x ~ 1ouy=3)
La proposition « x > 1 => y = 3 » peut donc s'écrire « x ~ 1 ou y = 3 ».
lf.:W nonP: « 3 n E ru, V p E ru, n =!= 2? ».Par exemple pour n = 3, tout entier p
vérife 2P =!= 3 car 3 n'est pas une puissance de 2. Cela démontre que nonP est vraie,
donc que P est fausse.
IQ L'affirmation« la présente affirmation est fausse» n'est pas une proposition
car on ne peut pas lui attribuer une valeur de vérité. En effet, si la valeur de vérité de
l'affirmation est VRAI, c'est que ce qu'elle affirme est vrai, donc que l'affirmation
est fausse, c'est-à-dire que sa valeur de vérité est FAUX. De même, si la valeur de
vérité de l'affirmation est FAUX, c'est que ce qu'elle affirme est faux, donc que
l'affirmation est vraie, c'est-à-dire que sa valeur de vérité est VRAI.
Ill A = (P et nonQ)
B = (nonP et nonQ) ;
C =(Pou (Q et nonP))
D =((Pet Q) ou (Q et nonP))
11 ... A : FAUX (71: = 5 est faux, 2 + 3 = 5 est vrai et « FAUX et VRAI » vaut
FAUX)
B : VRAI(« FAUX ou VRAI» vaut VRAI)
C : VRAI (71: ""' 3, 14 est vrai, 5 + 6 = 11 est vrai et « VRAI => VRAI » vaut VRAI)
D : VRAI (71: = 5 est faux, 2 + 3 = 5 est vrai et « FAUX=> VRAI» vaut VRAI)
E: VRAI (4 = 5 est faux,« A est vraie» est faux et« FAUX=> FAUX » vaut VRAI)
F: FAUX (5 + 5 = 10 est vrai, 71: = 11 est faux et « VRAI<::::> FAUX » vaut FAUX)
1111 A: FAUX (11 > 0 est vrai, 3 < 2 est faux et« VRAI et FAUX » vaut FAUX)
B : VRAI(« VRAI ou FAUX » vaut VRAI)
C : FAUX (3 > 6 est faux , 6 > 20 est faux, et « FAUX ou FAUX » vaut FAUX)
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Exercices corrigés
a) Traduire par une variable booléenne E 1 'ensemble des critères d'achat.
b) Faire la table de Kamaugh de E et donner une expression simplifiée de E.
Traduire par une phrase cette expression simplifiée.
c) Montrer par calculs, que E =a+ b. En déduire une expression de E et traduire
cette expression par une phrase.
SOLUTIONS
llM On sait que (P => Q) <::::> ((non(P)) ou Q) est toujours vrai (c'est une tautologie), donc:
( x > 1 => y= 3) ~ (non ( x > 1) ou y= 3)
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La proposition « x > 1 => y = 3 » peut donc s'écrire « x ~ 1 ou y = 3 ».
lf.:W nonP: « 3 n E ru, V p E ru, n =!= 2? ».Par exemple pour n = 3, tout entier p
vérife 2P =!= 3 car 3 n'est pas une puissance de 2. Cela démontre que nonP est vraie,
donc que P est fausse.
IQ L'affirmation« la présente affirmation est fausse» n'est pas une proposition
car on ne peut pas lui attribuer une valeur de vérité. En effet, si la valeur de vérité de
l'affirmation est VRAI, c'est que ce qu'elle affirme est vrai, donc que l'affirmation
est fausse, c'est-à-dire que sa valeur de vérité est FAUX. De même, si la valeur de
vérité de l'affirmation est FAUX, c'est que ce qu'elle affirme est faux, donc que
l'affirmation est vraie, c'est-à-dire que sa valeur de vérité est VRAI.
Ill A = (P et nonQ)
B = (nonP et nonQ) ;
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11 ... A : FAUX (71: = 5 est faux, 2 + 3 = 5 est vrai et « FAUX et VRAI » vaut
FAUX)
B : VRAI(« FAUX ou VRAI» vaut VRAI)
C : VRAI (71: ""' 3, 14 est vrai, 5 + 6 = 11 est vrai et « VRAI => VRAI » vaut VRAI)
D : VRAI (71: = 5 est faux, 2 + 3 = 5 est vrai et « FAUX=> VRAI» vaut VRAI)
E: VRAI (4 = 5 est faux,« A est vraie» est faux et« FAUX=> FAUX » vaut VRAI)
F: FAUX (5 + 5 = 10 est vrai, 71: = 11 est faux et « VRAI<::::> FAUX » vaut FAUX)
1111 A: FAUX (11 > 0 est vrai, 3 < 2 est faux et« VRAI et FAUX » vaut FAUX)
B : VRAI(« VRAI ou FAUX » vaut VRAI)
C : FAUX (3 > 6 est faux , 6 > 20 est faux, et « FAUX ou FAUX » vaut FAUX)
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