4. Condition suffisante d'extremum local
(cas de 2 variables)
Soit f une fonction de classe C
2 sur un ouvert D ⊂ R
2 et (x 0 ,y 0 ) un point critique ; posons :
R =
∂
2 f
∂ x 2 (x 0 ,y 0 ) ; S =
∂
2 f
∂ x∂ y
(x 0 ,y 0 ) ; T =
∂
2 f
∂ y 2 (x 0 ,y 0 ) .
On a alors :
• si S
2
− RT < 0 , f présente un extremum relatif en (x 0 ,y 0 ) ; il s'agit d'un maximum si R < 0 et d'un minimum si R > 0 ;
• si S
2
− RT > 0 , f présente un point-selle (ou point-col) en (x 0 ,y 0 ) ; ce n'est pas
un extremum ;
Le mot col vient de l'exemple de la fonction altitude et de la configuration (idéalisée) d'un col de montagne : minimum de la ligne de
crête, maximum de la route, sans être un extremum du paysage.
Le mot selle vient de l'exemple d'une selle de cheval.
• si S
2
− RT = 0 , on ne peut pas conclure à partir des dérivées secondes.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Extremum d’une fonction à plusieurs variables 29
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Analyse dans
R
n
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