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29
2 e année
Extremum d’une fonction
à plusieurs variables
1. Définitions
Soit f une fonction numérique définie sur D ⊂ R
n .
f admet un maximum (resp. minimum) global (ou absolu) en a ∈ D si
∀x ∈ D
f(x) f (a) (resp. f (x) f (a))
f admet un maximum (resp. minimum) local (ou relatif) en a ∈ D s'il existe un
voisinage V de a tel que :
∀x ∈ V
f(x) f (a)
(resp. f (x) f (a))
2. Existence d'un minimum et d'un maximum globaux
Si D est compact (c'est-à-dire fermé et borné puisqu'on est en dimension finie) et
si f est continue, alors f admet un maximum et un minimum globaux atteints au
moins une fois.
3. Condition nécessaire d'extremum local
Si f présente un extremum local en a, et si f est différentiable en ce point, alors :
∀i
∂ f
∂ x i
(a) = 0
ou encore
− − →
grad f (a) =
− →
0 .
Un point vérifiant cette condition est appelé point critique, ou point stationnaire,
de f.
Les éventuels extremums sont donc à chercher parmi les points critiques et les points où f n'est pas différentiable (le plus souvent les
points frontière de D).
En l'absence de théorème donnant une condition suffisante, étudiez
le signe de la différence f (x) − f (a) pour x voisin de a, ou, mieux,
le signe de
(h 1 ,…h n ) = f (a 1 + h 1 ,…,a n + h n ) − f (a 1 ,…,a n )
avec les h i voisins de 0.
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Extremum d’une fonction
à plusieurs variables
1. Définitions
Soit f une fonction numérique définie sur D ⊂ R
n .
f admet un maximum (resp. minimum) global (ou absolu) en a ∈ D si
∀x ∈ D
f(x) f (a) (resp. f (x) f (a))
f admet un maximum (resp. minimum) local (ou relatif) en a ∈ D s'il existe un
voisinage V de a tel que :
∀x ∈ V
f(x) f (a)
(resp. f (x) f (a))
2. Existence d'un minimum et d'un maximum globaux
Si D est compact (c'est-à-dire fermé et borné puisqu'on est en dimension finie) et
si f est continue, alors f admet un maximum et un minimum globaux atteints au
moins une fois.
3. Condition nécessaire d'extremum local
Si f présente un extremum local en a, et si f est différentiable en ce point, alors :
∀i
∂ f
∂ x i
(a) = 0
ou encore
− − →
grad f (a) =
− →
0 .
Un point vérifiant cette condition est appelé point critique, ou point stationnaire,
de f.
Les éventuels extremums sont donc à chercher parmi les points critiques et les points où f n'est pas différentiable (le plus souvent les
points frontière de D).
En l'absence de théorème donnant une condition suffisante, étudiez
le signe de la différence f (x) − f (a) pour x voisin de a, ou, mieux,
le signe de
(h 1 ,…h n ) = f (a 1 + h 1 ,…,a n + h n ) − f (a 1 ,…,a n )
avec les h i voisins de 0.
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