2. Composition
2.1 Différentielle d'une composée
Soit f : D 1 ⊂ R
n
−→ R
p et g : D 2 ⊂ R
p
−→ R
q deux fonctions définies sur des
ouverts tels que f (D 1 ) ⊂ D 2 .
Si f est différentiable en a et g différentiable en f (a), alors g ◦ f est différentiable en a et l'on a :
d(g ◦ f ) a = dg f (a) ◦ d f a ,
c'est-à-dire sous forme matricielle :
J g◦ f (a) = J g
f (a)
× J f (a).
Dans le cas q = 1 on a alors :
∂(g ◦ f )
∂ x i
(a) =
p
k=1
∂ f k
∂ x i
(a) ×
∂g
∂ y k
f (a)
.
2.2 Difféomorphisme
• Définition
Soit n = p, U un ouvert de R
n et V = f (U ). On dit que f est un difféomorphisme
de U sur V si f est une bijection et si f et f
−1 sont de classe C
1 sur U et V respectivement.
• Théorème d'inversion locale
Soit f : D ⊂ R
n
−→ R
n une fonction de classe C
1 sur un ouvert D.
Soit a ∈ D tel que d f a soit inversible, c'est-à-dire tel que le jacobien
D( f 1 ,. . . , f n )
D(x 1 ,. . . ,x n )
(a) soit non nul.
Il existe un voisinage ouvert U de a tel que f soit un difféomorphisme de U sur
f (U ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Différentiabilité 28
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Analyse dans
R
n
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