1.4 Dérivée dans une direction (cas p = 1)
La dérivée de f en a = (a 1 ,. . . ,a n ) dans la direction du vecteur unitaire
− → u (α 1 ,. . . ,α n ) est :
∂ f
∂ − → u
(a) = lim
t→0
f (a 1 + tα 1 ,. . . ,a n + tα n ) − f (a 1 ,. . . ,a n )
t
·
Lorsque f est différentiable, cette limite existe et vaut :
∂ f
∂ − → u
(a) =
− − →
grad f (a) · − → u .
Cette dérivée directionnelle est maximum dans la direction du gradient et vaut
alors
− − →
grad f (a).
Si la dérivée directionnelle en a n'est pas égale au produit scalaire
précédent, c'est une preuve que f n'est pas différentiable en a.
Sur les cartes d'état-major, le gradient indique la ligne plus grand
pente. Il est orthogonal aux lignes de niveau.
1.5 Matrice jacobienne (cas général)
Soit f : D → R
p une fonction définie sur un ouvert D de R
n , de classe C
1 en
a ∈ D. On appelle matrice jacobienne de f au point a la matrice de sa différentielle en a :
J f (a) =












∂ f 1
∂ x 1
(a)
∂ f 1
∂ x 2
(a) · · ·
∂ f 1
∂ x n
(a)
∂ f 2
∂ x 1
(a)
∂ f 2
∂ x 2
(a) · · ·
∂ f 2
∂ x n
(a)
. . .
. . .
∂ f p
∂ x 1
(a)
∂ f p
∂ x 2
(a) · · ·
∂ f p
∂ x n
(a)












1.6 Jacobien
Si n = p, le déterminant de J f (a) est le jacobien de f au point a.
On le note
D( f 1 ,. . . , f n )
D(x 1 ,. . . ,x n )
(a).
Différentiabilité
28
90
9782100549245-fredon-C24-36.qxd 18/06/10 10:28 Page 90