1. Différentielle
1.1 Fonction différentiable (cas général)
Soit f une fonction définie sur un ouvert D de R
n et à valeurs dans R
p . On dit que
f est différentiable en a ∈ D s'il existe une application linéaire l ∈ L(R
n
,R
p
)
telle que :
lim
h→0
f (a + h) − f (a) − l(h)
h
= 0 .
Dans ce cas, l'application l est unique. On l'appelle la différentielle de f au point
a et on la note d f a .
1.2 Théorèmes (cas p = 1)
Si f est différentiable en a, alors toutes les dérivées partielles premières de f en a
existent.
Si f est de classe C
1 en a, alors f est différentiable en a.
Les deux réciproques sont fausses.
1.3 Notation différentielle (cas p = 1)
Si p = 1, toute application linéaire de R
n dans R est de la forme :
h = (h 1 ,. . . ,h n ) → l(h) =
n
i=1
A i h i .
Si f est différentiable en a, on a nécessairement A i =
∂ f
∂ x i
(a).
En notant dx i la i-ième projection de R
n sur R (définie par dx i (h) = h i ), la différentielle de f s'écrit :
d f a =
n
i=1
∂ f
∂ x i
(a) dx i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
89
Analyse dans
R
n
28
Différentiabilité
2 e année
9782100549245-fredon-C24-36.qxd 18/06/10 10:28 Page 89