• Vecteur gradient
Le gradient de f en a est le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières :
− − →
grad f (a) =
n
i=1
∂ f
∂ x i
(a) − → e i .
Il est orthogonal à la ligne de niveau de f passant par a.
2.2 Dérivées partielles d'ordre supérieur
• Définition
Si les fonctions dérivées partielles admettent elles-mêmes des dérivées partielles
en a, ces dérivées sont appelées dérivées partielles secondes, ou dérivées partielles d'ordre 2, de f en a. On les note :
∂
2 f
∂ x
2
i
(a) =
∂
∂ x i
∂ f
∂ x i
(a) ;
∂
2 f
∂ x i ∂ x j
(a) =
∂
∂ x i
∂ f
∂ x j
(a) .
Les dérivées partielles d'ordre supérieur à 2 se définissent par récurrence de façon
analogue.
• Fonction de classe C
k
Si toutes les dérivées partielles d'ordre k sont continues sur D, on dit que f est de
classe C
k sur D.
Si les dérivées partielles de tous ordres existent, f est dite de classe C
∞ .
• Théorème de Schwarz
Si au moins une des deux dérivées partielles
∂
2 f
∂ x i ∂ x j
et
∂
2 f
∂ x j ∂ x i
est continue en a,
alors :
∂
2 f
∂ x i ∂ x j
(a) =
∂
2 f
∂ x j ∂ x i
(a).
Calcul différentiel dans R
n
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