C'est l'analogue de la courbe représentative d'une fonction à une
variable.
Si k ∈ R , l'ensemble
{(x 1 ,. . . ,x n ) ∈ D ; f (x 1 ,. . . ,x n ) = k}
est la ligne de niveau k de la fonction f.
Si n = 2, c'est une courbe plane ; si n = 3, c'est une surface.
Si (x 1 ,x 2 ) représente un point sur une carte et si f (x 1 ,x 2 ) désigne son
altitude, les lignes de niveau sont les courbes de même altitude qu'on
trouve sur les cartes d'état-major.
2. Dérivées partielles (cas p = 1)
Soit f une fonction numérique définie sur un ouvert D de R
n .
2.1 Dérivées partielles d'ordre 1
• Définition
Les dérivées partielles de f en a = (a 1 ,. . . ,a n ) sont les dérivées des fonctions
partielles associées à f. On les note :
∂ f
∂ x i
(a) ou D i f (a) ou f
x i
(a).
• Fonction de classe C
1
Si toutes les fonctions dérivées partielles :
(x 1 ,. . . ,x n ) →
∂ f
∂ x i
(x 1 ,. . . ,x n )
sont continues sur D, on dit que f est de classe C
1 sur D, ou que f est continûment
différentiable sur D.
Dans le cas général, f est de classe C
1 sur D si ses p fonctions coordonnées f j sont toutes de classe C
1 sur D.
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Calcul différentiel dans R
n
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Analyse dans
R
n
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