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1 re année
Calcul différentiel
dans R
n
1. Fonction de R
n dans R
p
1.1 Fonctions partielles
Une fonction f, de D ⊂ R
n dans R
p , est de la forme :
(x 1 ,. . . ,x n ) → f (x 1 ,. . . ,x n ).
Si a = (a 1 ,. . . ,a n ) est un point intérieur de D, les fonctions
x i → f (a 1 ,. . . ,a i−1 ,x i ,a i+1 ,. . . ,a n )
définies sur un intervalle ouvert contenant a i sont les fonctions partielles associées à f au point a.
Une fonction partielle est une restriction à une droite parallèle à un axe.
Pour que f soit continue en a, il est nécessaire que les fonctions partielles soient
continues en a i . Mais ce n'est pas suffisant.
Plus généralement, pour montrer que f n'est pas continue en a, il suffit de montrer que la restriction de f à une courbe continue passant
par a n'est pas continue.
Attention, même si la restriction de f à toute droite passant par a est
continue, cela ne prouve rien.
1.2 Fonctions coordonnées
On a f (x) =
f 1 (x),. . . , f p (x)
. Les fonctions, de R
n dans R, x → f j (x) sont les
fonctions coordonnées de f.
f est continue en a si, et seulement si, toutes ses fonctions coordonnées sont
continues en a.
1.3 Représentations graphiques (cas p = 1)
Si n = 2, l'ensemble des points de R
3 :
S = {
x,y, f (x,y)
; (x,y) ∈ D}
est la surface représentative de f.
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