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1 re année
Intégrales doubles
1. Intégrale double d'une fonction continue
sur un rectangle
1.1 Sommes de Darboux
Soit f une fonction continue sur un rectangle R = [a,b] × [c,d] et à valeurs réelles.
Soit x 0 = a < x 1 < · · · < x m = b
une subdivision de [a,b]
et
y 0 = c < y 1 < · · · < y n = d une subdivision de [c,d].
Les mn rectangles R i j = [x i ,x i+1 ] × [y j ,y j+1 ] forment une subdivision σ de R.
On appelle sommes de Darboux de f associées à σ les nombres :
s(σ) =
i, j
inf
R i j
f × aire R i j
et S(σ) =
i, j
sup
R i j
f × aire R i j
L'ensemble des sommes s(σ), quand σ varie, est majoré.
L'ensemble des sommes S(σ) , quand σ varie, est minoré.
1.2 Intégrale
Si f est continue, la borne supérieure des s(σ) est égale à la borne inférieure des
S(σ) . Cette valeur commune est appelée intégrale de f sur R et notée :
R
f (x,y) dx dy
ou
R
f
1.3 Sommes de Riemann
f étant continue sur R, soit σ la subdivision de R obtenue en partageant [a,b] en
m intervalles égaux et [c,d] en n intervalles égaux. Alors, on a :
R
f (x,y) dx dy = lim
m→∞
n→∞
m
i=1
n
j=1
b − a
m
d − c
n
f (x i ,y j )
1.4 Propriétés de l'intégrale
• Linéarité
Soit f et g deux fonctions continues sur R et λ et µ deux réels ; alors :
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