R
λ f (x,y) + µ g(x,y)
dx dy = λ
R
f (x,y) dx dy +µ
R
g(x,y) dx dy.
• Croissance
Soit f et g deux fonctions continues sur R telles que f (x,y) g(x,y) pour tout
(x,y) ∈ R ; alors :
R
f (x,y) dx dy
R
g(x,y) dx dy .
On en déduit que :
R
f (x,y) dx dy
R
| f (x,y)| dx dy .
1.5 Théorème de Fubini
Soit f une fonction continue sur un rectangle R = [a,b] × [c,d] et à valeurs réelles. On a :
R
f (x,y) dx dy =
b
a
d
c
f (x,y) dy
dx =
d
c
b
a
f (x,y) dx
dy
Ce théorème permet de calculer l'intégrale double par deux intégrales simples
successives.
Il peut arriver que l'un des emboîtements ne permette pas le calcul de
primitives et que l'autre conduise au résultat.
1.6 Cas particulier
Dans le cas où f s'écrit sous la forme d'un produit de deux fonctions continues à
une variable :
f (x,y) = g(x) h(y)
l'intégrale double sur le rectangle est alors le produit de deux intégrales simples :
R
f (x,y) dx dy =
b
a
g(x) dx ×
d
c
h(y) dy
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Intégrales doubles 30
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Analyse dans
R
n
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