2. Extension à une partie fermée bornée du plan
Soit f une fonction continue sur une partie A fermée bornée de R
2 et à valeurs
dans R. On peut prolonger la notion d'intégrale double de f sur A avec les mêmes
propriétés que sur un rectangle.
2.1 Théorème de Fubini
Soit ϕ et ψ deux fonctions continues sur [a,b] avec ϕ ψ ; notons A l'ensemble des points (x,y) ∈ R
2 tels que :
a x b et ϕ(x) y ψ(x).
Alors :
A
f (x,y) dx dy =
b
a
ψ(x)
ϕ(x)
f (x,y) dy
dx
Intégrales doubles
30
96
y
a
x
b
y = ψ (x)
y = ϕ (x)
On peut permuter les rôles de x et de y.
2.2 Additivité par rapport au domaine d'intégration
Si A est la réunion de deux parties A 1 et A 2 fermées bornées telles que A 1 ∩ A 2
soit d'aire nulle, alors :
A
f (x,y) dx dy =
A 1
f (x,y) dx dy +
A 2
f (x,y) dx dy .
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