3. Changement de variables
3.1 Théorème
Soit f (x,y) une fonction continue sur le domaine D fermé et borné, en bijection
avec un domaine fermé et borné au moyen des fonctions de classe C
1
x = ϕ(u,v) et y = ψ(u,v) ; alors :
D
f (x,y) dx dy =
f
x(u,v),y(u,v)
D(x,y)
D(u,v)
du dv
Le déterminant
D(x,y)
D(u,v)
=
∂ϕ
∂u
(u,v)
∂ϕ
∂v
(u,v)
∂ψ
∂u
(u,v)
∂ψ
∂v
(u,v)
est le jacobien du changement de variables.
3.2 Cas des coordonnées polaires
Le changement de variables x = ρ cos θ et y = ρ sin θ a pour jacobien
D(x,y)
D(ρ,θ)
= ρ, d'où :
D
f (x,y) dx dy =
f (ρ cos θ,ρ sin θ) ρ dρ dθ
Grâce à cette transformation, l'intégration sur un disque, une couronne ou un secteur angulaire se ramène à une intégration sur un rectangle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Intégrales doubles 30
97
Analyse dans
R
n
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3.1 Théorème
Soit f (x,y) une fonction continue sur le domaine D fermé et borné, en bijection
avec un domaine fermé et borné au moyen des fonctions de classe C
1
x = ϕ(u,v) et y = ψ(u,v) ; alors :
D
f (x,y) dx dy =
f
x(u,v),y(u,v)
D(x,y)
D(u,v)
du dv
Le déterminant
D(x,y)
D(u,v)
=
∂ϕ
∂u
(u,v)
∂ϕ
∂v
(u,v)
∂ψ
∂u
(u,v)
∂ψ
∂v
(u,v)
est le jacobien du changement de variables.
3.2 Cas des coordonnées polaires
Le changement de variables x = ρ cos θ et y = ρ sin θ a pour jacobien
D(x,y)
D(ρ,θ)
= ρ, d'où :
D
f (x,y) dx dy =
f (ρ cos θ,ρ sin θ) ρ dρ dθ
Grâce à cette transformation, l'intégration sur un disque, une couronne ou un secteur angulaire se ramène à une intégration sur un rectangle.
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