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2 e année
Intégrales curvilignes
1. Formes différentielles de degré 1
1.1 Définition
Une forme différentielle de degré 1 est une application ω, définie sur un ouvert
de R
n , et à valeurs dans le dual L(R
n
,R) .
En notant dx i la i-ième projection de R
n sur R (définie par dx i (h) = h i ), ω
s'écrit :
∀x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ U
ω(x) =
n
i=1
P i (x) dx i .
Les P i , applications de U dans R, sont les fonctions coordonnées de ω.
En physique, on associe à ω le champ de vecteurs
− →
V de composantes (P 1 ,P 2 ) dans le plan et (P 1 ,P 2 ,P 3 ) dans l'espace.
Si tous les P i sont de classe C
k sur U , on dit que ω est de classe C
k sur U .
1.2 Forme exacte
Une forme différentielle ω est exacte s'il existe une fonction f de U dans R telle
que :
d f = ω.
On dit alors que f est une primitive de ω sur U .
En physique, ω exacte signifie que
− →
V est un champ de gradients.
1.3 Forme fermée
ω est fermée si :
∀i ∀ j
∂ P i
∂ x j
=
∂ P j
∂ x i
·
En physique, cette condition signifie que
− →
rot
− →
V =
− →
0 .
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