1.4 Condition nécessaire pour ω exacte
Une forme différentielle exacte de classe C
1 est toujours fermée.
En physique, cela signifie que l'on a toujours
− →
rot
− − →
grad f
=
− →
0 .
1.5 Ouverts particuliers
Un ouvert U de R
n est étoilé s'il existe a ∈ U tel que, pour tout x ∈ U, le segment d'extrémités a et x soit inclus dans U .
Un ouvert U de R
n est simplement connexe si toute courbe fermée incluse dans
U peut se ramener à un point par déformation continue.
1.6 Théorème de Poincaré
Si U est un ouvert étoilé, ou si U est simplement connexe, alors :
ω exacte sur U ⇐⇒ ω fermée sur U .
Attention, cette équivalence exige une hypothèse sur U . Elle n'est
pas vraie dans le cas du plan privé d'un point, de l'espace privé d'une
droite.
2. Intégrale curviligne
2.1 Arc orienté
Soit un arc de courbe défini par la représentation paramétrique :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a,b]
L'arc est orienté par le choix de l'un des deux sens de parcours possibles, ce qui
revient à distinguer les vecteurs unitaires tangents (oppposés)
− →
T + et
− →
T − .
2.2 Intégrale d'une forme différentielle le long d'un arc orienté
P, Q et R étant des fonctions continues, on appelle intégrale curviligne de la
forme différentielle ω = P dx + Q dy + R dz le nombre noté :
+
ω =
+
P dx + Q dy + R dz
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Intégrales curvilignes 31
99
Analyse dans
R
n
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Une forme différentielle exacte de classe C
1 est toujours fermée.
En physique, cela signifie que l'on a toujours
− →
rot
− − →
grad f
=
− →
0 .
1.5 Ouverts particuliers
Un ouvert U de R
n est étoilé s'il existe a ∈ U tel que, pour tout x ∈ U, le segment d'extrémités a et x soit inclus dans U .
Un ouvert U de R
n est simplement connexe si toute courbe fermée incluse dans
U peut se ramener à un point par déformation continue.
1.6 Théorème de Poincaré
Si U est un ouvert étoilé, ou si U est simplement connexe, alors :
ω exacte sur U ⇐⇒ ω fermée sur U .
Attention, cette équivalence exige une hypothèse sur U . Elle n'est
pas vraie dans le cas du plan privé d'un point, de l'espace privé d'une
droite.
2. Intégrale curviligne
2.1 Arc orienté
Soit un arc de courbe défini par la représentation paramétrique :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a,b]
L'arc est orienté par le choix de l'un des deux sens de parcours possibles, ce qui
revient à distinguer les vecteurs unitaires tangents (oppposés)
− →
T + et
− →
T − .
2.2 Intégrale d'une forme différentielle le long d'un arc orienté
P, Q et R étant des fonctions continues, on appelle intégrale curviligne de la
forme différentielle ω = P dx + Q dy + R dz le nombre noté :
+
ω =
+
P dx + Q dy + R dz
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