et défini par :
I =
b
a
P
x(t),y(t),z(t)
x
(t) + Q
x(t),y(t),z(t)
y
(t)
+R
x(t),y(t),z(t)
z
(t)
dt
En physique, il s'agit de la circulation de
− →
V le long de .
2.3 Propriétés
• Linéarité par rapport à la forme différentielle
+
λ 1 ω 1 + λ 2 ω 2 = λ 1
+
ω 1 + λ 2
+
ω 2 .
• Additivité par rapport aux arcs
Si a pour origine A et pour extrémité B, et si C est un point de l'arc
AB, alors :
AB
ω =
AC
ω +
C B
ω .
Si
AB est C
1 par morceaux avec des arcs
AC et
C B qui sont C
1 , cette égalité sert
de définition à l'intégrale curviligne sur
AB.
• Cas d'une forme exacte
Si ω = d f, alors
AB
ω = f (B) − f (A)
ne dépend que des extrémités du chemin d'intégration. L'intégrale est donc nulle
si la courbe est fermée.
3. Formule de Green-Riemann
3.1 Théorème
Soit D une partie fermée bornée du plan limitée par un bord C de classe C
1 par
morceaux, et P et Q des fonctions C
1 dans D. On a :
C +
P dx + Q dy =
D
∂ Q
∂ x
−
∂ P
∂ y
dx dy ,
Intégrales curvilignes
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