Attention, la réciproque n'est pas vraie si E quelconque.
• Toute suite de Cauchy est bornée.
• L'image d'une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue est de
Cauchy.
2.3 Espaces complets
Un espace vectoriel normé E est dit complet si toute suite de Cauchy de E est
convergente.
On dit aussi que E est un espace de Banach.
2.4 Exemples
• Tout espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach.
• Si F est complet, alors L c (E,F) est complet pour la norme subordonnée aux
normes de E et de F.
Remarquez que l'hypothèse concerne l'espace d'arrivée.
En particulier, le dual topologique L c (E,K ) d'un espace vectoriel normé E est un
espace de Banach.
2.5 Propriétés
• Dans un espace vectoriel normé E, toute partie A complète est fermée.
• Si E est complet, tout fermé A ⊂ E est complet.
• Si E est compact, il est complet.
2.6 Théorème du point fixe
Soit E un espace de Banach et f une fonction de E dans E. Si f est contractante,
alors l'équation f (x) = x a une solution unique l ∈ E.
Toute suite définie par u 0 ∈ E et u n+1 = f (u n ) converge vers l.
3. Connexité par arcs (dimension finie)
3.1 Partie connexe par arcs
Une partie A de E est connexe par arcs si, pour tout (a,b) ∈ A
2 , il existe une
fonction continue f de [0,1] dans A telle que f (0) = a et f (1) = b.
Ensembles particuliers
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