1. Ensembles compacts
1.1 Cas d'un espace de dimension finie
Dans un espace normé de dimension finie, un compact est une partie fermée et
bornée.
1.2 Cas général
• Définition
On dit qu'une partie A de E est une partie compacte, ou est un compact, si, de
toute suite d'éléments de A, on peut extraire une sous-suite convergente dans A.
• Propriétés
– Si A est un compact de E et B un compact de F, alors A × B est un compact
de E × F.
– Un fermé inclus dans un compact est un compact.
– Tout compact est fermé et borné.
1.3 Fonction continue sur un compact
Soit f une fonction continue de E dans F et A un compact de E.
• f (A) est un compact de F.
• f est uniformément continue sur A (théorème de Heine).
2. Ensembles complets
2.1 Suites de Cauchy
Une suite (u n ) d'éléments d'un espace vectoriel normé E est de Cauchy si :
∀ε > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀( p,q) ∈ N
2
( p n 0 et q n 0 ) ⇒ ⇒u p − u q ε
2.2 Propriétés
• Toute suite convergente est de Cauchy.
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Analyse dans
R
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Ensembles particuliers
2 e année
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