1.4 Homéomorphisme
f est un homéomorphisme si elle est bijective et si f et f
−1 sont toutes les deux
continues.
1.5 Fonctions lipschitziennes
Une fonction f de D dans F est lipschitzienne de rapport k 0 si :
∀x ∈ D ∀y ∈ D
f (y) − f (x) k y − x
Si 0 < k < 1, on dit que f est contractante.
1.6 Continuité uniforme
f de D ⊂ E dans F est uniformément continue sur D si :
∀ε > 0
∃ η > 0
∀x ∈ D
∀y ∈ D
x − y η ⇒ ⇒ f (x) − f (y) ε .
Si f est lipschitzienne sur D, alors f est uniformément continue sur D.
2. Applications linéaires continues
2.1 Cas d'un espace de dimension finie
Si E est de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est continue.
Si E,F,G sont de dimensions finies, toute application bilinéaire de E × F dans
G est continue.
2.2 Cas général
• Critère de continuité
Si f est linéaire de E dans F, les propositions suivantes sont équivalentes :
– f est continue sur E ;
– f est continue en 0 ;
– f est uniformément continue ;
– ∃k 0 ∀x ∈ E f (x) k x.
Vérifiez bien que f est linéaire avant d'appliquer ce critère de continuité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Continuité 25
81
Analyse dans
R
n
9782100549245-fredon-C24-36.qxd 18/06/10 10:28 Page 81