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25
2 e année
Continuité
1. Fonctions continues
1.1 Limite
Soit E et F deux espaces vectoriels normés, f une application de D ⊂ E dans F,
a un point adhérent à D et l ∈ F.
f admet la limite l au point a si :
∀ε > 0
∃ η > 0
∀x ∈ D
x − a η ⇒ ⇒ f (x) − l ε .
Les normes dans E et dans F sont notées de la même façon pour ne
pas alourdir les notations.
1.2 Continuité
f est continue en a si elle est définie en a et si lim
x→a
f (x) = f (a).
f est continue sur D ⊂ E si elle est continue en tout point de D.
Les opérations algébriques sont analogues au cas particulier des fonctions numériques continues.
Deux fonctions continues de D dans F qui coïncident sur une partie dense de D
sont égales.
1.3 Caractérisations de la continuité
• Caractérisation séquentielle
Pour que f soit continue en a, il faut, et il suffit, que, pour toute suite (u n ) qui
converge vers a, la suite
f (u n )
converge vers f (a).
• Caractérisation topologique
f est continue sur D si, et seulement si, l'image réciproque de tout ouvert (resp.
fermé) de F est un ouvert (resp. fermé) de E.
Attention, si f est continue et si D est un ouvert (resp. fermé) de E,
on ne peut rien dire de l'image directe f (D).
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1. Fonctions continues
1.1 Limite
Soit E et F deux espaces vectoriels normés, f une application de D ⊂ E dans F,
a un point adhérent à D et l ∈ F.
f admet la limite l au point a si :
∀ε > 0
∃ η > 0
∀x ∈ D
x − a η ⇒ ⇒ f (x) − l ε .
Les normes dans E et dans F sont notées de la même façon pour ne
pas alourdir les notations.
1.2 Continuité
f est continue en a si elle est définie en a et si lim
x→a
f (x) = f (a).
f est continue sur D ⊂ E si elle est continue en tout point de D.
Les opérations algébriques sont analogues au cas particulier des fonctions numériques continues.
Deux fonctions continues de D dans F qui coïncident sur une partie dense de D
sont égales.
1.3 Caractérisations de la continuité
• Caractérisation séquentielle
Pour que f soit continue en a, il faut, et il suffit, que, pour toute suite (u n ) qui
converge vers a, la suite
f (u n )
converge vers f (a).
• Caractérisation topologique
f est continue sur D si, et seulement si, l'image réciproque de tout ouvert (resp.
fermé) de F est un ouvert (resp. fermé) de E.
Attention, si f est continue et si D est un ouvert (resp. fermé) de E,
on ne peut rien dire de l'image directe f (D).
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