3.2 Ouverts de E
Une partie A de E est ouverte (ou est un ouvert) si elle est au voisinage de chacun de ses points, ce qui s'écrit :
∀a ∈ A
∃ r a > 0
B(a,r a ) ⊂ A .
Deux normes équivalentes définissent les mêmes ouverts.
Un point a est un point intérieur de A si A est un voisinage de a.
L'ensemble des points intérieurs de A est l'intérieur
◦
A de A. On a
◦
A ⊂ A.
Une partie A est ouverte si, et seulement si, A =
◦
A.
3.3 Fermés de E
Une partie A est fermée (ou est un fermé) si son complémentaire est un ouvert.
a est un point adhérent à A si toute boule B(a,r) avec r > 0 contient un point
de A. L'ensemble des points adhérents à A est l'adhérence A de A. On a A ⊂ A.
Si A = E, on dit que A est dense dans E.
Une partie A est fermée si, et seulement si, A = A.
Une partie A est fermée si, et seulement si, pour toute suite d'éléments de A qui
converge dans E, la limite appartient à A.
Fournir une suite d'éléments de A qui converge dans E vers une limite qui n'appartient pas à A, c'est donc démontrer que A n'est pas
fermée.
3.4 Frontière
La frontière d'une partie A est l'ensemble A \
◦
A.
C'est l'ensemble des points a tels que toute boule B(a,r) avec r > 0 contient au
moins un vecteur de A et un vecteur qui n'appartient pas à A.
3.5 Point isolé
Un point a de A est isolé si l'on peut trouver une boule de centre a ne contenant
pas d'autre point de A autre que a.
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Espaces vectoriels normés 24
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Analyse dans
R
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