2. Suites d'éléments
2.1 Convergence
La définition est analogue au cas des suites dans R.
La suite (u n ) est convergente vers l si :
∀ε > 0
∃ n 0 ∈ N
∀n n 0
u n − l ε .
Une suite qui n'est pas convergente est divergente.
Beaucoup de théorèmes sur les suites numériques se généralisent : unicité de la
limite, opérations algébriques, théorème de Bolzano-Weierstrass…
Ne généralisez pas les notions qui utilisent la relation comme :
limites infinies, suites monotones, théorème d'encadrement.
2.2 Normes équivalentes
Soit N et N
deux normes sur E. On dit qu'elles sont équivalentes si toute suite
qui converge vers l pour une norme, converge aussi vers l pour l'autre norme.
Pour ceci, il faut, et il suffit, qu'il existe α > 0 et β > 0 tels que :
∀x ∈ E
α N
(x) N (x) β N
(x) .
Pour montrer que N et N
sont équivalentes, montrez que les fonctions
N
N
et
N
N sont bornées sur E \ {0}.
Pour montrer qu'elles ne sont pas équivalentes, montrez que l'un de
ces quotients n'est pas borné.
2.3 Cas d'un espace vectoriel de dimension finie
Dans un espace vectoriel de dimension finie, deux normes quelconques sont toujours équivalentes.
3. Topologie d'un espace vectoriel normé (E,N )
3.1 Voisinages d'un point
Une partie V est un voisinage de a ∈ E s'il existe une boule ouverte centrée en a
et incluse dans V.
Espaces vectoriels normés
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