N ∞ est la norme de la convergence uniforme.
d) E étant muni d'un produit scalaire, N (x) =
√
(x|x) définit une norme appelée
norme euclidienne si K = R et hermitienne si K = C. Les normes N 2 des exemples a) et b) sont des normes euclidiennes ou hermitiennes.
e) Si (E 1 ,N 1 ),. . . ,(E p ,N p ) sont des espaces vectoriels normés, on définit une
norme sur le produit cartésien E 1 × · · · × E p en posant :
N (u 1 ,. . . ,u p ) = sup
1i p
N i (u i ).
1.2 Distance associée à une norme
• La distance entre deux éléments x et y de E est :
d (x,y) = =y − x.
• Propriétés
∀x ∈ E ∀y ∈ E
d(x,y) 0
∀x ∈ E ∀y ∈ E
d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y
∀x ∈ E ∀y ∈ E
d(x,y) = d (y,x)
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀z ∈ E
d(x,z) d (x,y) + d (y,z)
• La distance entre deux parties A et B non vides de E est :
d (A,B) = inf{d (x,y) ; x ∈ A ,y ∈ B}.
• Le diamètre d'une partie non vide A est :
diam A = sup{d (x,y) ; x ∈ A ,y ∈ A} .
Si diam A est fini, A est dite bornée.
Une application f définie sur un ensemble D et à valeurs dans E est dite bornée
si f (D) est une partie bornée de E.
1.3 Boules
La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est :
B(a,r) = {x ∈ E ; x − a < r}.
La boule fermée de centre a et de rayon r > 0 est :
B
∗
(a,r) = {x ∈ E ; x − a r} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Espaces vectoriels normés 24
77
Analyse dans
R
n
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d) E étant muni d'un produit scalaire, N (x) =
√
(x|x) définit une norme appelée
norme euclidienne si K = R et hermitienne si K = C. Les normes N 2 des exemples a) et b) sont des normes euclidiennes ou hermitiennes.
e) Si (E 1 ,N 1 ),. . . ,(E p ,N p ) sont des espaces vectoriels normés, on définit une
norme sur le produit cartésien E 1 × · · · × E p en posant :
N (u 1 ,. . . ,u p ) = sup
1i p
N i (u i ).
1.2 Distance associée à une norme
• La distance entre deux éléments x et y de E est :
d (x,y) = =y − x.
• Propriétés
∀x ∈ E ∀y ∈ E
d(x,y) 0
∀x ∈ E ∀y ∈ E
d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y
∀x ∈ E ∀y ∈ E
d(x,y) = d (y,x)
∀x ∈ E ∀y ∈ E ∀z ∈ E
d(x,z) d (x,y) + d (y,z)
• La distance entre deux parties A et B non vides de E est :
d (A,B) = inf{d (x,y) ; x ∈ A ,y ∈ B}.
• Le diamètre d'une partie non vide A est :
diam A = sup{d (x,y) ; x ∈ A ,y ∈ A} .
Si diam A est fini, A est dite bornée.
Une application f définie sur un ensemble D et à valeurs dans E est dite bornée
si f (D) est une partie bornée de E.
1.3 Boules
La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est :
B(a,r) = {x ∈ E ; x − a < r}.
La boule fermée de centre a et de rayon r > 0 est :
B
∗
(a,r) = {x ∈ E ; x − a r} .
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