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2 e année
Espaces vectoriels
normés
1. Normes et distances
1.1 Normes
• Définition
Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C. Une norme sur E est une application N de E dans R qui vérifie :
(1) ∀x ∈ E
N(x) 0 et N (x) = 0 ⇒ x = 0 ;
(2) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E
N(λx) = |λ| N (x) ;
(3) ∀x ∈ E ∀y ∈ E
N(x + y) N (x) + N (y) .
Le couple (E,N ) est appelé espace vectoriel normé. On écrit souvent
N (x) = =x.
• Exemples
a) E = K
n ; pour x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ E , on définit :
N 1 (x) =
|x 1 | + · · · + |x n |
N 2 (x) =
|x 1 | 2 + · · · + |x n | 2
N ∞ (x) = sup {|x 1 |,. . . ,|x n |}
b) E = C([a,b],K ) étant l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b] et à
valeurs dans K, pour f ∈ E on pose :
N 1 ( f ) =
b
a
| f (t)| dt ; N 2 ( f ) =
b
a
| f (t)| 2 dt .
N 1 est la norme de la convergence en moyenne, N 2 la norme de la convergence
en moyenne quadratique.
c) E = B( A,F) étant l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur un
ensemble A et à valeurs dans un espace vectoriel normé F, on pose :
N ∞ ( f ) = sup
t∈A
f (t)
où désigne la norme dans F.
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