Cette série est absolument convergente et l'on a :
+∞
n=0
w n =
+∞
n=0
u n
+∞
n=0
v n
.
4. Séries de référence
4.1 Séries géométriques
La série de terme général (réel ou complexe) u n = aq
n est convergente (absolument) si, et seulement si, |q| < 1 et on a alors :
+∞
n=0
aq
n
= a
1
1 − q
·
4.2 Séries de Riemann
1
n α converge ⇐⇒ α > 1.
En particulier, la série divergente
1
n
est appelée série harmonique.
4.3 Série exponentielle
Pour tout z ∈ C, la série de terme général
z
n
n!
est absolument convergente et
l'on a :
+∞
n=0
z
n
n!
= e
z .
5. Séries alternées
5.1 Définition
Une série
u n à termes réels est alternée si son terme général change de signe
alternativement.
En supposant u 0 0, on a donc u n = (−1)
n a n où a n = |u n |.
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Séries numériques 23
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Analyse dans
R
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