Si n
α u n est minoré par A > 0 avec α 1, alors la série
u n diverge.
• Règle de d'Alembert
Soit
u n une série à termes strictement positifs telle que
u n+1
u n
admette une
limite l quand n tend vers +∞ .
Si l < 1, la série converge ; si l > 1, la série diverge.
2.3 Comparaison d'une série à une intégrale
Soit f : [0,+∞[−→ R + une fonction continue, positive et décroissante.
La série
+∞
n=0
f (n) et l'intégrale généralisée
+∞
0
f (x) dx sont de même nature.
3. Convergence absolue
3.1 Définition et théorème
• Définition
Si
|u n | converge, on dit que
u n est absolument convergente.
• Théorème
Si une série est absolument convergente, alors elle est convergente et sa somme
vérifie :
+∞
n=0
u n
+∞
n=0
|u n | .
La réciproque est fausse.
Une série convergente qui n'est pas absolument convergente est dite semiconvergente.
3.2 Produit de deux séries
Soit
u n et
v n deux séries absolument convergentes. Le produit des deux
séries est la série de terme général :
w n = u 0 v n + u 1 v n−1 + · · · + u n−1 v 1 + u n v 0 =
p+q=n
u p v q .
Séries numériques
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