+∞
n=0
u n =
+∞
n=0
a n + i
+∞
n=0
b n .
1.5 Critère de Cauchy
La série
u n converge si, et seulement si, la suite (S n ) est de Cauchy
(cf. fiche.26), c'est-à-dire :
∀ε > 0
∃N ∈ N
∀n > N
∀ p ∈ N
n+ p
k=n+1
u k
< ε .
2. Séries à termes positifs
2.1 Caractérisation
Pour qu'une série de termes réels positifs converge, il faut et il suffit que la suite
des sommes partielles soit majorée.
2.2 Comparaison de deux séries
• Théorème de comparaison
Soit
u n et
v n deux séries telles que 0 u n v n à partir d'un certain rang.
Si
v n converge, alors
u n converge.
Si
u n diverge, alors
v n diverge.
• Utilisation d'équivalents
Soit
u n et
v n deux séries à termes > 0 telles que u n ∼
+∞
v n .
Les deux séries sont alors de même nature, c'est-à-dire qu'elles sont convergentes
ou divergentes en même temps.
Ce théorème s'applique aussi à des séries à termes < 0, mais il n'est
pas vrai pour des séries quelconques.
• Règle de Riemann
Soit
u n une série à termes positifs.
Si n
α u n est majoré avec α > 1, alors la série
u n converge.
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Séries numériques 23
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Analyse dans
R
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