1. Séries à termes réels ou complexes
1.1 Définitions
Soit (u n ) une suite de nombres réels ou complexes. On note S n =
n
k=0
u k .
On dit que la série de terme général u n est convergente lorsque la suite (S n ) est
convergente vers S. Sinon, on dit qu'elle est divergente.
Dans le cas d'une série convergente, on note S =
+∞
k=0
u k .
On dit que S est la somme de la série, que S n est la somme partielle d'ordre n et
que R n =
+∞
k=n+1
u k est le reste d'ordre n.
Pour tout n ∈ N, on a S = S n + R n et il est équivalent de dire que la série
u n
converge ou que lim
n→∞
R n = 0 .
1.2 Condition nécessaire de convergence
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0.
Si le terme général u n ne tend pas vers 0, alors la série
u n
diverge.
1.3 Espace vectoriel des séries convergentes
Si
u n et
v n convergent et ont pour sommes respectives U et V alors, pour
tous nombres a et b, la série
(au n + bv n ) est convergente et a pour somme
aU + bV.
1.4 Cas des séries complexes
Soit u n = a n + ib n avec a n ∈ R et b n ∈ R. La série complexe
u n converge si,
et seulement si, les deux séries réelles
a n et
b n convergent, et on a :
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2 e année
Séries numériques
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