5.2 Critère spécial des séries alternées
• Théorème
Si la suite de termes positifs (a n ) est décroissante et converge vers 0, alors la
série alternée
+∞
n=0
(−1)
n a n est convergente.
• Exemple
La série harmonique alternée
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
est convergente, mais n'est pas absolument convergente.
• Majoration du reste
Dans les hypothèses du critère spécial des séries alternées, les suites
S 2n
et
S 2n+1
sont adjacentes.
Le reste R n =
+∞
k=n+1
(−1)
k a k est du signe de (−1)
n+1 et vérifie :
|R n | a n+1 .
Séries numériques
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• Théorème
Si la suite de termes positifs (a n ) est décroissante et converge vers 0, alors la
série alternée
+∞
n=0
(−1)
n a n est convergente.
• Exemple
La série harmonique alternée
+∞
n=1
(−1)
n−1
n
est convergente, mais n'est pas absolument convergente.
• Majoration du reste
Dans les hypothèses du critère spécial des séries alternées, les suites
S 2n
et
S 2n+1
sont adjacentes.
Le reste R n =
+∞
k=n+1
(−1)
k a k est du signe de (−1)
n+1 et vérifie :
|R n | a n+1 .
Séries numériques
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