1. Équations du premier ordre à variables séparables
Lorsque l'équation est de la forme :
f
x(t)
x
(t) = g(t),
où f et g sont des fonctions données dont on connaît des primitives F et G, on a :
F
x(t)
= G(t) + C,
et si F possède une fonction réciproque F
−1 , on en tire :
x(t) = F
−1
G(t) + C
,
relation qui donne toutes les solutions de l'équation.
Cette solution générale dépend de la constante d'intégration C.
Dans le cas du problème de Cauchy, C est déterminé par x(t 0 ) = x 0 .
En pratique, on peut écrire l'équation sous la forme :
f (x) dx = g(t) dt,
puis intégrer formellement les deux membres :
f (x) dx =
g(t) dt ,
et exprimer x en fonction de t.
2. Système autonome de deux équations
du premier ordre
Il s'agit d'un système du type :

 
 
dx
dt
= ϕ(x,y)
dy
dt
= ψ(x,y)
où ϕ et ψ sont de classe C
1 sur un ouvert de R
2 .
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22 Notions sur les équations
différentielles non linéaires
1 re année
et
2 e année
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