1.3 Cas où A est diagonalisable
Soit A diagonalisable ; notons λ 1 ,. . . ,λ p ses valeurs propres et V 1 ,. . . ,V p une
base de R
p de vecteurs propres associés.
L'espace vectoriel des solutions du système homogène (S
) admet pour base :
V 1 e
λ 1 t
,. . . ,V p e
λ p t
.
2. Résolution de (S)
2.1 Par réduction de A
On a A = P R P
−1 où R est diagonale ou triangulaire. Si l'on pose
Y (t) = P
−1 X (t) et C(t) = P
−1 B(t), le système s'écrit :
Y
(t) = RY (t) + C(t) .
On résout ce système réduit et on en déduit X (t) = PY (t).
Si B(t) = / 0, cette méthode nécessite le calcul de P
−1 et peut être
pénible.
2.2 Par la méthode de « variation des constantes »
Si
C 1 (t),. . . ,C p (t)
est une base de l'espace vectoriel des solutions de (S
), on
peut poser X (t) =
p
i=1
u i (t) C i (t) où les u i sont des fonctions de classe C
1 de I
dans R.
2.3 Par la recherche d'intégrales premières indépendantes
Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p
telle que
p
i=1
α i L i = 0 .
En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de
X
− λX = (A − λI p )X + B
on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y =
p
i=1
α i x i .
Si A est diagonalisable, on obtient ainsi p combinaisons linéaires en x i , d'où l'on
déduit les x i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Systèmes différentiels linéaires 21
67
Analyse dans
R
9782100549245-fredon-C12-23.qxd 18/06/10 10:22 Page 67