• Si a et b sont réels et si < 0, l'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées α ± iβ . On a alors :
x S (t) = e
αt
(K 1 cos βt + K 2 sin βt) ,
où K 1 et K 2 sont des constantes réelles quelconques.
En physique, on utilise la forme :
K 1 cos βt + K 2 sin βt = A cos (βt − ϕ)
avec A =
K
2
1 + K
2
2 , cos ϕ =
K 1
A
et sin ϕ =
K 2
A
·
3.2 Résolution de (1) à coefficients constants dans quelques cas
• Cas où f (t) est un polynôme P(t) de degré n
Il existe une solution particulière de (1) sous la forme d'un polynôme de degré
n si c = / 0 ;
n + 1 si c = 0 et b = / 0 ;
n + 2 si c = b = 0 et a = / 0.
La recherche de cette solution se fait par identification.
• Cas où f (t) = e
kt P(t) avec P polynôme et k constante
On effectue le changement de fonction inconnue
x(t) = e
kt z(t)
où z est une nouvelle fonction inconnue. En reportant x, x
et x
dans (1), on est
conduit à une équation en z du type précédent.
• Cas où f (t) = e
αt cos βt P(t) ou f (t) = e
αt sin βt P(t) avec α et β réels, et
P polynôme à coefficients réels
Une solution particulière est la partie réelle, ou la partie imaginaire, de la solution
particulière obtenue pour l'équation de second membre e
(α+iβ) t P(t).
Équations différentielles linéaires
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