2. Résolution dans le cas du premier ordre
2.1 Résolution de l'équation homogène associée
Ses solutions sont du type :
x S (t) = K e
−A(t)
où A(t) =
t
t 0
b(u)
a(u)
du
avec K constante arbitraire et t 0 élément quelconque de I .
2.2 Recherche d'une solution particulière
(méthode de Lagrange)
x 1 étant une solution non nulle de (2), on introduit une fonction auxiliaire
inconnue K (t) telle que x(t) = K (t) x 1 (t) soit solution de (1).
Ceci conduit à K
(t) =
f (t)
a(t)x 1 (t)
ce qui permet de calculer K (t) puis x(t).
Cette méthode s'appelle aussi méthode de variation de la constante.
3. Résolution dans le cas du second ordre
3.1 Résolution de l'équation homogène dans le cas
de coefficients constants
La fonction t → e
rt est solution de (2) si, et seulement si, r vérifie l'équation
caractéristique :
ar
2
+ br + c = 0,
ce qui conduit à calculer = b
2
− 4ac.
• Si = / 0, l'équation caractéristique a deux racines distinctes r 1 et r 2 . On a
alors :
x S (t) = K 1 e
r 1 t
+ K 2 e
r 2 t ,
où K 1 et K 2 sont des constantes quelconques.
• Si = 0, l'équation caractéristique a une racine double r 0 . On a alors :
x S (t) = (K 1 t + K 2 ) e
r 0 t ,
où K 1 et K 2 sont des constantes quelconques.
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Analyse dans
R
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