1. Équations différentielles scalaires linéaires
1.1 Définitions
• Dans le cas du premier ordre, elles sont de la forme :
a(t) x
(t) + b(t) x(t) = f (t)
(1)
où a, b et f sont des fonctions données, continues sur un intervalle I , à valeurs
réelles ou complexes.
Pour la résolution, on se place sur un intervalle J ⊂ I tel que a ne s'annule pas
sur J.
• Dans le cas du second ordre, elles sont de la forme :
a(t)x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = f (t)
(1)
où a, b, c et f sont des fonctions données, continues sur un intervalle I .
Pour la résolution, on se place sur un intervalle J ⊂ I tel que a ne s'annule pas
sur J.
L'équation est dite à coefficients constants si elle est de la forme :
a x
(t) + b x
(t) + c x(t) = f (t)
(1)
où a, b et c sont des constantes données, réelles ou complexes, avec a = / 0.
1.2 Théorèmes dus à la linéarité
• Toute solution de (1) est de la forme x P (t) + x S (t) où x P (t) est une solution particulière de (1) et x S (t) la solution générale de l'équation homogène associée :
a(t) x
(t) + b(t) x(t) = 0
(2)
ou
a(t)x
(t) + b(t) x
(t) + c(t) x(t) = 0
(2)
• Les solutions complexes de (2) sur J forment un C-espace vectoriel de dimension 1 pour le premier ordre, 2 pour le second ordre.
Si a, b et c sont à valeurs réelles, l'ensemble des solutions réelles de (2) sur J est
un R-espace vectoriel de dimension 1 pour le premier ordre, 2 pour le second
ordre.
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20 Équations différentielles
linéaires
1 re année
et
2 e année
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