2.3 Méthodes générales de résolution de l'équation complète (1)
• Variation de la constante
Si x 1 est une solution de (2), ne s'annulant pas sur I , on peut chercher les solutions de (1) sous la forme :
x(t) = u(t) x 1 (t)
où u est une fonction inconnue qui vérifie l'équation différentielle linéaire du
premier ordre en u
obtenue en reportant dans (1).
• Système fondamental de solutions
Si x 1 et x 2 sont deux solutions linéairement indépendantes de (2), on peut chercher la solution de (1) sous la forme :
x(t) = u(t) x 1 (t) + v(t) x 2 (t)
où u et v sont des fonctions inconnues soumises à la condition :
u
(t) x 1 (t) + v
(t) x 2 (t) = 0 .
Les fonctions u et v sont obtenues en résolvant le système :
u
x 1 + v
x 2 = 0
u
x
1 + v
x
2 = f
dont le déterminant
w(t) =
x 1 (t) x 2 (t)
x
1 (t) x
2 (t)
appelé wronskien de x 1 et x 2 , ne s'annule pas sur I lorque x 1 et x 2 sont linéairement indépendantes. On obtient :
u
(t) = −
x 2 (t) f (t)
w(t)
et
v
(t) =
x 1 (t) f (t)
w(t)
·
• Utilisation de séries entières
On peut chercher des solutions sous la forme d'un développement en série entière.
Cette méthode peut être envisagée quand a(t), b(t) et c(t) sont des
polynômes simples. N'oubliez pas de vérifier que la (ou les) série
entière obtenue a un rayon de convergence non nul.
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Analyse dans
R
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