1. Équations différentielles
Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle t et les
valeurs x(t),x
(t),. . . ,x
(n)
(t) d'une fonction inconnue et de certaines de ses dérivées, de la forme :
F
t,x(t),x
(t),. . . ,x
(n)
(t)
= 0
(E)
où F est une fonction continue.
L'ordre n de l'équation différentielle est celui de la dérivée d'ordre le plus élevé
qui figure dans (E).
Si x est à valeurs dans R, l'équation (E) est dite scalaire.
Si x est à valeurs dans R
p , l'équation (E) est dite vectorielle.
On appelle solution de (E) sur I , ou intégrale de (E) sur I , toute fonction définie sur un intervalle ouvert I possédant des dérivées jusqu'à l'ordre n et telle que :
∀t ∈ I
F
t,x(t),x
(t),. . . ,x
(n)
(t)
= 0 .
Résoudre (E) dans I , c'est rechercher l'ensemble de ses solutions dans I .
La courbe représentant une solution de (E) est aussi appelée courbe intégrale
de (E).
Une solution x est dite maximale lorsqu'il n'existe pas de solution coïncidant avec
x sur I et définie sur un intervalle strictement plus grand.
Le problème de Cauchy est la recherche des solutions d'une équation différentielle vérifiant des conditions initiales imposées.
2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
Considérons une équation différentielle du premier ordre sous la forme :
x
= f (t,x)
(E)
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1 re année
Généralités sur les équations
différentielles
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