Si f est localement intégrable sur ]a,b], on a une définition et un théorème analogue.
3. Fonction intégrable sur un intervalle quelconque
3.1 Définitions
• Une fonction f, continue par morceaux sur un intervalle I est dite intégrable
sur I si elle vérifie l'une des deux conditions équivalentes suivantes :
– la fonction f admet sur I une intégrale absolument convergente ;
– il existe un réel M > 0 tel que, pour tout segment J inclus dans I , on ait :
J
| f (t)| dt M .
• Si f est intégrable sur I , on appelle intégrale de f sur I , et on note
I
f :
– l'intégrale de f sur I si I est un segment,
– son intégrale impropre sur I si I n'est pas un segment.
3.2 Propriétés
• Les propriétés, vues dans le cadre de l'intégrale sur un segment, comme la
linéarité et l'inégalité de la moyenne se prolongent.
• La relation de Chasles devient :
Si f est intégrable sur I et sur J, si I ∪ J est un intervalle et si I ∩ J est vide ou
réduit à un point, on a :
I
f +
J
f =
I ∪J
f .
• Dans le cas des fonctions à valeurs réelles, on a :
Si f est intégrable et f 0, alors
I
f 0 .
Si f et g sont intégrables et f g, alors
I
f
I
g .
Si f est continue et positive :
I
f = 0 ⇐⇒ ∀t ∈ I f (t) = 0 .
Intégration sur un intervalle quelconque
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