Si
+∞
a
g(t) dt converge, alors
+∞
a
f (t) dt converge aussi.
Si
+∞
a
f (t) dt diverge, alors
+∞
a
g(t) dt diverge aussi.
2.3 Équivalence de fonctions positives
Soit f et g deux fonctions positives.
Si f (x) ∼
+∞
g(x), alors les intégrales
+∞
a
f (t) dt et
+∞
a
g(t) dt sont de même
nature.
Si f (x) ∼
a
g(x), alors les intégrales
b
a
f (t) dt et
b
a
g(t) dt sont de même
nature, c'est-à-dire qu'elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux
divergentes.
Il est important que f et g soient de même signe au voisinage du problème étudié, sinon les fonctions peuvent être équivalentes et leurs
intégrales de nature différente.
2.4 Situations de référence
Pour a > 0, on a :
+∞
a
dt
t α converge ⇐⇒ α > 1 .
Pour a > 0, on a :
a
0
dt
t α converge ⇐⇒ α < 1 .
1
0
ln t dt
et
+∞
0
e
−αt dt (où α ∈ R
∗
+ ) sont convergentes.
2.5 Intégrales absolument convergentes
• Définition
Soit f une fonction localement intégrable sur [a,+∞[. On dit que f est absolument convergente sur cet intervalle si
+∞
a
| f (t)| dt converge.
• Théorème +∞
a
| f (t)| dt converge ⇒
+∞
a
f (t) dt converge.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Intégration sur un intervalle quelconque 18
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Analyse dans
R
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