1.4 Généralisation
• Si f est localement intégrable sur ]a,b[, on pose
b
a
f (t) dt =
c
a
f (t) dt +
b
c
f (t) dt avec c ∈]a,b[ quelconque
et on dit que
b
a
f (t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales du
second membre convergent.
• Si f est localement intégrable sur ]a,+∞[, on pose
+∞
a
f (t) dt =
b
a
f (t) dt +
+∞
b
f (t) dt avec b ∈]a,+∞[ quelconque
et on dit que l'intégrale
+∞
a
f (t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales du second membre convergent.
• Si f est localement intégrable sur ] − ∞,+∞[, on pose
+∞
−∞
f (t) dt =
b
−∞
f (t) dt +
+∞
b
f (t) dt avec b ∈] − ∞,+∞[ quelconque
et on dit que l'intégrale
+∞
−∞
f (t) dt converge si, et seulement si, les deux intégrales du second membre convergent.
2. Règles de convergence
2.1 Condition nécessaire de convergence sur [a,+∞[
Soit f une fonction localement intégrable sur [a,+∞[. Si l'intégrale
+∞
a
f (t) dt
converge et si lim
x→+∞
f (x) existe, cette limite est nécessairement nulle.
Si f n'a pas de limite, on ne peut rien dire de l'intégrale.
2.2 Comparaison de fonctions positives
Soit f et g localement intégrables et telles que 0 f g sur [a,+∞[.
Intégration sur un intervalle quelconque
18
56
9782100549245-fredon-C12-23.qxd 18/06/10 10:22 Page 56