1. Calcul approché des zéros d'une fonction
1.1 Généralités
• On détermine d'abord un segment I sur lequel l'équation f (x) = 0 possède une
racine unique r qu'il s'agit d'approcher.
• On peut réduire progressivement l'intervalle où se situe r par dichotomie.
• Mais il est souvent préférable de choisir une fonction g telle que :
– l'équation f (x) = 0 soit équivalente sur I à g(x) = x ;
– il existe un intervalle J ⊂ I contenant r sur lequel g soit contractante et tel
que g(J ) ⊂ J.
Alors toute suite récurrente définie par :
u 0 ∈ J et ∀n ∈ N u n+1 = g(u n )
converge vers r.
Si plusieurs fonctions g peuvent convenir, on choisit celle dont le coefficient de
contraction est le plus faible pour que la convergence soit plus rapide.
1.2 Méthode de Newton-Raphson
Si f possède une dérivée continue ne s'annulant pas sur I on peut choisir la fonction g définie par :
g(x) = x −
f (x)
f (x)
·
Géométriquement, cela signifie :
u 0 étant donné,
u 1 est l'abscisse de l'intersection de la tangente au graphique de f au point
u 0 , f (u 0 )
avec l'axe des x ;
u 2 est l'intersection de la tangente au graphique de f au point
u 1 , f (u 1 )
avec l'axe
des x . . .
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1 re année
Approximation
r
u 2 u 1 u 0
x
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