2.5 Primitive
Si f est continue, une primitive F de f admet le développement limité d'ordre
n + 1, au voisinage de 0, obtenu par intégration terme à terme de A n (x), le terme
constant étant F(0).
2.6 Dérivée
Si f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n (n 2) sur un intervalle ouvert I contenant 0, la fonction f
admet un développement limité d'ordre n − 1 dont la partie
régulière s'obtient en dérivant terme à terme celle du développement limité de f.
3. Applications des développements limités
3.1 Étude locale d'une fonction
Pour l'étude locale d'une fonction, ou pour la recherche d'une limite, on cherche
un développement limité comportant au moins un terme non nul.
Dans les opérations sur les fonctions, l'ordre des développements
limités intermédiaires doit être choisi de façon cohérente. À chaque
étape, examinez si le terme suivant aurait eu de l'influence sur votre
résultat.
3.2 Étude des branches infinies
Soit f définie sur un intervalle ]A,+∞[ ou ] − ∞,A[. Quand x tend vers l'infini,
X =
1
x
tend vers 0, et, en remplaçant x par
1
X
on est ramené au voisinage de 0.
Lorsque x et f (x) tendent vers l'infini, on obtient une asymptote oblique (si elle
existe) en effectuant le développement limité au voisinage de l'infini :
f (x)
x
= a +
b
x
+
c
x k + o
1
x k
où
c
x k est le premier terme non nul après
b
x
·
Dans ce cas, la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f. Et la position relative de la courbe et de l'asymptote résulte du signe
de
c
x k−1 lorsque x tend vers l'infini.
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Analyse dans
R
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