arctan x = x −
x
3
3
+
x
5
5
+ · · · +
(−1)
p
2 p + 1
x
2 p+1
+ o(x
2 p+2
)
arcsin x = x +
1
6
x
3
+
3
40
x
5
+ o(x
6
)
arccos x =
π
2
− x −
1
6
x
3
−
3
40
x
5
+ o(x
6
)
argsh x = x −
1
6
x
3
+
3
40
x
5
+ o(x
6
)
argth x = x +
x
3
3
+
x
5
5
+ · · · +
x
2 p+1
2 p + 1
+ o(x
2 p+2
)
2. Opérations sur les développements limités
Considérons deux fonctions f et g admettant des développements limités de
même ordre n au voisinage de 0, de parties régulières respectives A n et B n .
2.1 Combinaison linéaire
Si λ et µ sont des réels, alors λ f + µg admet un développement limité au voisinage de 0 dont la partie régulière est λA n + µB n .
2.2 Produit
f g admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie
régulière est formée des termes de degré inférieur ou égal à n du produit A n B n .
2.3 Quotient
Si B n (0) = / 0 (soit g(0) = / 0),
f
g
admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière est obtenue à partir de A n (x) ×
1
B n (x)
en utilisant le développement limité de
1
1 + u
au voisinage de 0.
2.4 Composition
Si g ◦ f est définie au voisinage de 0 et si f (0) = 0, alors g ◦ f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière s'obtient en
remplaçant u dans B n (u) par A n (x) et en ne gardant que les monômes de degré
inférieur ou égal à n.
Développements limités
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