• Obtention d'un développement limité
La formule de Taylor-Young permet d'obtenir de nombreux développements limités.
Mais si f admet un développement limité d'ordre n (n 2) au voisinage de x 0 , elle n'admet pas forcément de dérivée seconde en x 0 .
1.3 Développements limités de base
(1 + x)
α
= 1 + α
x
1!
+ · · · + α(α − 1) . . . (α − n + 1)
x
n
n!
+ o(x
n
)
avec les cas particuliers :
α =
1
2
√
1 + x = 1 +
1
2
x −
1
8
x
2
+
1
16
x
3
+ o(x
3
)
α = −1
1
1 + x
= 1 − x + x
2
+ · · · + (−1)
n x
n
+ o(x
n
)
α = −
1
2
1
√
1 + x
= 1 −
1
2
x +
3
8
x
2
−
5
16
x
3
+ o(x
3
)
e
x
= 1 +
x
1!
+ · · · +
x
n
n!
+ o(x
n
)
cos x = 1 −
x
2
2!
+ · · · + (−1)
p x
2 p
(2 p)!
+ o(x
2 p+1
)
ch x = 1 +
x
2
2!
+ · · · +
x
2 p
(2 p)!
+ o(x
2 p+1
)
sin x = x −
x
3
3!
+ · · · + (−1)
p−1 x
2 p−1
(2 p − 1)!
+ o(x
2 p
)
sh x = x +
x
3
3!
+ · · · +
x
2 p−1
(2 p − 1)!
+ o(x
2 p
)
tan x = x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+ o(x
6
)
th x = x −
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+ o(x
6
)
ln (1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ · · · + (−1)
n x
n+1
n + 1
+ o(x
n+1
)
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Développements limités 16
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Analyse dans
R
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