1. Généralités
1.1 Définition
Soit f une fonction définie au voisinage de x 0 . On dit que f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de x 0 , s'il existe une fonction polynôme P n de
degré inférieur ou égal à n, et une fonction ε, définies au voisinage de x 0 telles
que :
f (x) = P n (x) + (x − x 0 )
n ε(x) avec lim
x→x 0
ε(x) = 0 .
P n (x) est la partie régulière et (x − x 0 )
n ε(x) le reste.
Dans ce cas, on a des fonctions équivalentes : f (x) ∼
x 0
P n (x).
En posant x = x 0 + t, on peut toujours se ramener au voisinage de
t = 0 .
1.2 Propriétés des développements limités
• Troncature
Si f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0 dont la partie
régulière est P n (x) =
n
k=0
a k x
k et si p n, alors f admet un développement limité
d'ordre p au voisinage de 0 dont la partie régulière est P p (x) =
p
k=0
a k x
k .
• Unicité
Si f possède un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, il est unique.
• Parité
Soit f une fonction admettant un développement limité d'ordre n au voisinage
de 0, de partie régulière P n (x) =
n
k=0
a k x
k . Si f est paire (resp. impaire), alors les
coefficients a k d'indice impair (resp. pair) sont nuls.
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1 re année
Développements limités
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