1. Formules de Taylor à valeur globale
1.1 Formule de Taylor avec reste intégral
Soit f une fonction de classe C
n+1 sur I , x 0 et x des points de I . On a :
f (x) = P n (x) +
x
x 0
(x − t)
n
n!
f
(n+1)
(t) dt ,
où P n (x) = f (x 0 ) +
(x − x 0 )
1!
f
(x 0 ) + · · · +
(x − x 0 )
n
n!
f
(n)
(x 0 )
est l'approximation de Taylor à l'ordre n ;
et R n (x) =
x
x 0
(x − t)
n
n!
f
(n+1)
(t) dt est le reste intégral d'ordre n.
1.2 Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit f une fonction de classe C
n+1 sur I . On suppose de plus qu'il existe A > 0 tel
que, pour tout x ∈ I, on ait | f
(n+1)
(x)| A.
On obtient alors la majoration du reste :
|R n (x)| A
|x − x 0 |
n+1
(n + 1)!
·
2. Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction dérivable sur I jusqu'à l'ordre n. Alors la fonction ε définie au
voisinage de 0 par :
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f
(x 0 ) + · · · +
h
n
n!
f
(n)
(x 0 ) + h
n ε(h)
est telle que lim
h→0
ε(h) = 0 .
Au lieu de h
n ε(h), on écrit souvent o(h
n
).
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Analyse dans
R
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Formules de Taylor
1 re année
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